تشخیص هویت با استفاده از اثر انگشت

چهارشنبه 9 اسفند ماه 1402

تشخیص هویت با استفاده از اثر انگشت

در جامعه امروز ما تشخیص هویت نقش مهمی را ایفا می کند

در تشخیص هویت سعی می شود تا برای چنین سوالاتی پاسخ پیدا کنیم:

۱.آیا یک فرد خاص همان کسی است که ادعا می کند؟

۲ .آیا سوابق و یا اطلاعاتی از یک فرد خاص موجود است؟

 .۳آیا یک فرد خاص حق ورود به سیستم را دارد؟

۴.یک کارمند خاص مجاز به چه عملیاتی در سیستم است؟

برای پاسخ دادن به این سوالات در اولین گام باید هویت فرد را مشخص کرد.از طرفی دیگر با رشد سریع تکنولوژی شاهد ان هستیم که ارتباط بین افراد بیش از پیش الکترونیکی می شود. بنابراین نیاز داریم تا هویت افراد را بطور دقیق و خودکار تعیین کنیم. با وجودیکه شناسایی افراد بصورت خودکار در جامعه امروز امری ضروری به نظر می اید اما شناسایی افراد توسط خصیصه های فیزیکی ان ها موضوع تازه ای نیست .انسان ها یکدیگر را با توجه به خصیصه های فیزیکی شان شناسایی می کنند.ما در ملاقات حضوری یکدیگر را از روی چهره تشخیص می دهیم و یا در ارتباط تلفنی با توجه به صدای فرد مقابل به هویت او پی می بریم.

در روش های سنتی اطلاعاتی که فرد در اختیار دارد بیانگر هویت اوست.از جمله این اطلاعات می توان به کلمه رمز و یا یک شماره شناسایی اشاره کرد که این روش های سنتی دارای مزایا و معایبی هستند .

● مزایا:

سادگی و کم هزینه بودن ان ها است.سیستمی که بخواهد چنین شاخص هایی را مورد شناسایی قرار دهد چندان پیچیده نخواهد بود و با هزینه اندکی نیز قابل پیاده سازی است.

● معایب:

این شاخص ها قابل دزدین هستند و یا ممکن است فراموش شوند.در واقع در روش های سنتی سیستم قادر نیست تا بین فرد واقعی و فرد نفوذ کننده تمایز قایل شود و هر کسی که دانش مورد نظر را در اختیار داشته باشد به عنوان فرد واقعی شناسایی خواهد شد پس می توان نتیجه گرفت که سیستم های سنتی از امنیت کافی برای جامعه الکترونیکی امروزی ما برخوردار نیستند.

اما امروزه تعیین هویت قطعی افراد در مبادله اطلاعات یک عنصر حیاتی در ایمنی داده ها است.بنابراین روش های مختلفی برای تعیین هویت افراد وجود دارد.

یکی از پایه های خودکار سازی تعیین هویت افراد , شناسایی انسان ها بر اساس ویژگی های بیومتریک انها مانند چهره, الگو های گفتاری و اثر انگشت و ...است.

تعیین هویت افراد با استفاده از اثر انگشت نسبت به سایر روش های بیومتریک تعیین هویت بطور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرد.به برامدگی ها و فرو رفتگی های موجود در پوست نوک انگشت اثر انگشت گویند بزرگترین دلیل استفاده گسترده و عمومی از اثر انگشت بعنوان ابزار تعیین هویت این است که اثر انگشت افراد منحصر به فردند و در طول عمر فرد تغییر نمی کنند.

روش های شناسایی اثر انگشت یکی از جالب توجه ترین روش های تشخیص الگو برای تعیین هویت افراد هستند.تکنیک های شناسایی اثر انگشت اطمینان و ثبات در تشخیص هویت را تضمین می کنند و بدین ترتیب در کاربردهای مختلف مورد استفاده قرار می گیرد.

از جمله اثر انگشت در صنایع کامپیوتری مانند business,Network,Software liciensing و وسال جانبی مانند ماوس و صفحه کلید کاربرد دارد.همچنین در روشن کردن اتومبیل , قفل گاو صندوق یا درب ها و یا کارت های اعتباری استفاده می شود.

از طرف دیگر مشکلات عملی زیادی در سیستم های شناسایی اثر انگشت وجود دارد.هر دفعه که یک اثر انگشت گرفته می شود ممکن است بخاطر قابلیت کشسانی پوست , تحریفاتی در شکل و محل اثر انگشت ایجاد شود.علاوه بر این اطمینان بالا و پردازش بلادرنگ , فاکتورهای مهم مورد نیاز در سیستم خودکار شناسایی اثر انگشت هستند.

برای حل این مشکلات , استخراج ریزه ها از تصاویر اثر انگشت و کاربرد ان ها در تطبیق اثر انگشت مورد بررسی قرار می گیرد.

● بیومتریک

بیومتریک علم تحیل ویژگی های فیزیولوژی و یا رفتاری و پایه خودکار سازی روش های شناسایی یک فرد بر اساس خصوصیات فیزیولوژی و یا رفتاری است.

روش های بیومتریک از اثر انگشتان , الگوهای رفتاری , خصوصیات چهره ای , اسکن شبکیه چشم , دستخط بعنوان خصیصه های قابل شناخت انسان استفاده می کنند.

این ویژگی ها یا در وجود فرد مسستر است و یا رفتاری است که او از خود بروز می دهد.بنابراین به صورت ذاتی نسبت به روش های سنتی قابل اعتماد تر بوده است و از امنیت بیشتری برخوردار است.به همین نسبت نیز سیستم هایی که قادر به تشخیص شاخص های بیومتریکی هستند از پیچیدگی بیشتری برخوردارند.

نکته قابل توجه اینست که سیستم های بیومتریک نیز قابل نفوذ هستند و در پاره ای موارد امکان تهیه یک کپی و یا تقلید از ویژگی مورد نظر وجود دارد.در چنین مواردی سیستم بیومتریک ممکن است دچار اشتباه گردد.با این حال سیستم های بیومتریک به مراتب نسبت به سیستم های سنتی قابل اعتماد تر می باشند.

● سیستم های بیومتریک

یک سیستم بیومتریک در واقع یک سیستم شناسایی الگو است که هویت فرد را با تجزیه و تحلیل ویژگی های استخراج شده از خصیصه بیومتریکی تعیین می کند.

▪ یک سیستم بیومتریک از لحاظ منطقی به دو بخش تقسیم می شود:

 .۱ بخش نام نویسی

 .۲ بخش شناسایی

در بخش نام نویسی جمع اوری خصیصه های بیومتریکی افراد و ذخیره ان ها در سیستم انجام می شود.

در طی این فاز ویژگی مورد نظر توسط بخش بیومتریک خوان خوانده شده و سپس توسط بخشی با نام استخراج کننده ویژگی , ویژگی های موجود در قالب الگوهایی جدا می شود و در بانک داده سیستم قرار می گیرد.وظیفه بخش شناسایی , تشخیص و تایید هویت افراد در هنگام ورود و یا دستیابی به سیستم است. طی این فاز بخش بیومتریک خوان خصیصه بیومتریکی را خوانده و ویژگی های ان را استخراج می کند سپس این ویژگی ها را با الگو های موجود در بانک داده سیستم مقایسه می کند و در نهایت مجوز ورود یا عدم ورود به سیستم را صادر می کند.

● خطا در سیستم های بیومتریکی

در روش های سنتی دانشی که به سیستم ارایه می شود بطور دقیق هویت فرد را مشخص می کند.تفاوت اصلی بین یک سیستم بیومتریک و یک سیستم سنتی تشخیص هویت در پاسخی است که هر یک از این دو به خصیصه ارایه شده می دهند.

بر خلاف سیستم های سنتی یک سیستم بیومتریک جواب مطلق اری یا نه مبنی بر رد یا پذیرش نمی دهند.به عنوان مثال در یک سیستم سنتی یا عین کلمه رمز ارایه شده در سیستم موجود است و یا نیست. بنابراین حالت بینایی وجود ندارد اما در یک سیستم بیومتریک عین خصیصه ارایه شده به سیستم را در بانک داده نداریم وانچه ارزیابی می شود میزان شباهت خصیصه ارایه شده به سیستم را در بانک داده نداریم و ان چه ارزیابی می شود میزان شباهت خصیصه ارایه شده با خصیصه موجود در بانک داده است. مثلامیزان شباهت امضای ارایه شده با امضایی که از قبل در سیستم موجود است, اندازه گیری می شود.

هدف ایده ال طراحی یک سیستم بیومتریک است که میزان تطبیق بین دو خصیصه را بطور صد در صد مشخص کند. اما در عمل دستیابی به چنین سیستمی غیر ممکن است .بنابراین همواره از یک مقدار حد استانه برای تصمیم گیری در مورد یا پذیرش خصیصه مورد نظر استفاده می شود.با توجه به مطالب بیان شده دو نوع خطا برای یک سیستم بیومتریک می توان تعریف کرد.

.۱ رد نادرت: بدین معنا که به فرد اصلی اجازه ورود به سیستم داده نشود.این خطا زمانی رخ می دهد که سیستم شباهت کافی بین خصیصه ارایه شده و خصیصه موجود در سیستم پیدا نکند.

.۲ پذیرش نادرست :به این معنا که به کاربر غیر مجاز اجازه ورود به سیستم داده شود.این خطا زمانی رخ می دهد که شباهت بین خصیصه ارایه شده توسط کاربر غیر مجاز و خصیصهه موجود در سیستم از حد استانه بیشر باشد.

● سیستم های تایید وتعیین هویت مبتنی بر اثر انگشت

در گذشه سیستم های بیومتریکی مبتنی بر اثر انگشت برای مسایل پلیسی و جنایی مورد استفاده قرار می گرفت اما امروزه این سیستمها برای موارد کنترلی و امنیتی سازمان ها و ادارات نیز استفاده می شود.

● اخذ تصویر

قدیمی تریت روش همان روش استفاده از کاغذ و جوهر است در این شیوه ابتدا سطح انگشت را به جوهر اغشته کرده و سپس روی کاغذ می غلتانند.برای وارد کردن تصویر به دست امده به یک سیستم کامپیوتری از یک پویشگر تخت استفاده می شود. تصویر بدست امده از این روش بسیار اعوجاج داشته و حتی در تشخیص بصورت دستی نیز نیازمند یک فرد خبره است.روش دیگری که امروزه در بسیاری از سیستم ها از ان استفاده می شود بکارگیری دوربین های CCD است.

در روش اخیر که اصطلاحا اسکن زنده نیز نامیده می شود دستیابی به تصویری با کیفیت خوب امکان پذیر است.چهار تکنیک برای اسکن زنده وجود داردکه به ان ها اشاره می کنیم:

.۱ تکنیک نوری

.۲ ماورا صوت

.۳ میدان الکتریکی

تکنیک حرارتی

در کلیه این تکنیک ها سطح انگشت با قسمت خاصی از دستگاه در تماس قرار گرفته تصویر اخذ می شود.

در تکنیک نوری انگشت بر روی یک منشور قرار می گیرد و به ان نور تابانده می شود.با اندازه گیری میزان نور بازگشتی از هر قسمت تصویری از اثر انگشت شکل می گیرد.

در روش ماورا صوت با توجه به میزان انرژی صوتی منعکس شده از سطح انگشت برای اشکار سازی لبه ها و شیارها استفاده می شود.حسگرهای میدان الکتریکی بر اساس اندازه گیری اختلاف ظرفیت الکتریکی سطح انگشتی که حسگر را لمس می کند عمل می کنند و در نهایت حسگر های حرارتی با اندازه گیری اختلاف دمای سطح پوست شیارها و لبه های اثر انگشت را نمایان می سازد.

روش اسکن زنده ,تصویر نسبتا خوبی از اثر انگشت ارایه میدهد.اما هنوز هم عواملی چون خشکی پوست بیماری های پوستی , عرق, کثیفی و چربی باعث بوجود امدن اعوجاج درتصویر اثر انگشت می شوند.در هر دو روش سنتی و اسکن زنده عواملی باعث بروز اختلاف در دو نسخه از یک اثر انگشت می شوند که در زیر به ان ها اشاره می کنیم:

. ۱انتقال: تفاوت در موقعیت مکانی نسخه های مختلفی که از اثر انگشت گرفته می شود.

. ۲چرخش: ناشی از چرخش انگشت هنگام اخذ اثر انگشت است.

. ۳مقیاس: از اختلاف فشاری که فرد در هر بار اخذ اثر انگشت به سطح دستگاه یا کاغذ وارد می کند ناشی می شود.

.۴ اختلاف در اثر انگشت به دلیل عواملی چون بیماری های پوستی, سوختگی و عرق با وجود این که اسکن زنده تصویری با کیفیت خوب از اثر انگشت در اختیار ما قرار می دهد اما باز هم مکانیزم هایی به موازات ان برای اخذ اثر انگشت به صورت کنترل شده به کار می رود. در اخذ اثر انگشت به صورت کمنرل شده میزان فشاری که فرد در هر بار اخذ به سطح دستگاه وارد می کند توسط یک حسگر فسار اندازه گیری شده و به عنوان یک پارامتر ورودی به سیستم داده می شود بدین طریق می توان باز هم کارایی سیستم را افزایش داد.

● طبقه بندی اثر انگشت

طبقه بندی اثر انگشت در سیستم های تعیین هویت مورد استفاده قرار می گیرد.هدف از طبقه بندی اثر انگشت این است که بانک داده را تا حد امکان به بخش های کوچکتری تقسیم کنیم..در سیستم های تعیین هویت تنها بخشی از بانک داده که از حیث طبقه متناظر با اثر انگشت ورودی است مورد جستجو قرار می گیرد.درسیستم هایی که با جمعیت های کم کار می کنند می توان از رده ای که اثر انگشت به ان متعلق است به عنوانتنها ویژگی برای تعیین یا تایید هویت فرد استفاده کرد.از جمله قدیمی ترین سیستم طبقه بندی مورد استفاده در سیستم های دستی روشی است که توسط هنری ارائه شده است.در این طبقه بندی ۵ رده وجود دارد که به ترتیب راست – حلقه, چپ –حلقه, پیچشی , کمانی و کمانی خیمه ای نامیده می شود.

تعیین طبقه برای یک اثر انگشت با توجه به جهت امتداد لبه ها در اطراف هسته و همچنین تعداد و چگونگی قرار گرفتن نقاط هسته و دلتا صورت می گیرد.در موارد کمی نمی توان یک اثر انگشت را به یک طبقه خاص نسبت داد و همواره در هر نوع سیستم طبقه بندی یک طبقه با نام طبقه غیر مترقبه در نظر گرفته می شود و چنین اثر انگشتی را به این طبقه نسبت می دهند.

طبقه بندی ارائه شده برای فرایندی دستی طبقه بندی مناسبی است.چرا که ضوابط بیان شده برای نسبت دادن یک اثر انگشت به یک رده خاص بسیار شفاف و واضح است.در یک سیستم خودکار بهتر است تا با بیشتر کردن تعداد رده ها بانک داده را به بخش های کوچکتری تقسیم کنیم.اما به دلیل واضح بودن سیستم طبقه بندی ارائه شده اکثر سیستم های خودکار امروزی نیز از همین طبقه بندی استفاده می کنند.

● استخراج ویژگی های موجود در اثر انگشت

خصوصیات اصلی در یک اثر انگشت لبه ها (برجستگی ها) و شیارها ( فرو رفتگی ها) هستند که بصورت یک در میان قرار دارند.لبه ها و شیارها بصورت محلی دارای جهت یکسانی بوده و موازی می باشند.در خطوط لبه بی نظمی های مانند دو شاخه شدن خط لبه و پایان یافتن خط لبه دیده می شود در چنین حالتی اصطلاحا می گوییم با عدم پیوستگی محلی مواجه گشته ایم. که چنین نقاطی را ویژگی می نامند.

رایج ترین ویژگی هایی که امروزه از اثر انگشت استخراج می شود ویژگی هایی هستند که توسط Galton معرفی شدند.در ابتدا این شخص چهار ویژگی معرفی کرد اما بعد ها این ویژگی توسط افراد دیگری هم توسعه پیدا کرد و تا هجده ویژگی معرفی شد.

استخراج خودکار کلیه ویژگی های معرفی شده توسط کامپیوتر بسیار مشکل بوده و حتی استخراج ان ها بصورت دستی نیز نیاز به تخصص درد. در اکثر سیستم های خودکار امروزی فقط به استخراج دو ویژگی خاص با نام های پایان – لبه و دو شاخه که ریزه نامیده می شود بسنده می شود.این دو ویژگی خاص بیشتر از ویژگی های دیگر در یک اثر انگشت قابل مشاهده است و الگوریتم های استخراج ان از قابلیت اعتماد بیشتری برخوردار می باشد.شناسایی اثر انگشت بر اساس تحلیل ریزه های استخراج شده انجام می شود.بنابراین قابلیت اجرا و کارایی سیستم خودکار شناسایی اثر انگشت به دقت ریزه های استخراج شده بستگی دارد.

البته تعداد زیادی از روش ها برای کشف ریزه های اثر انگشت وجود دارد در بیشتر این روش ها تصاویر سیاه و سفید (سطح خاکستری) اثر انگشت را به یک تصویر باینری (دو سطحی) تبدیل می کند.

طی این فاز لبه ها از شیارها کاملا تفکیک می شود. سپس یک فرایند نازک سازی که باعث می شود تا لبه ها به منحنی هایی با عرض یک نقطه تبدیل شوند بر روی تصویر باینری انجام می دهند.در مرحله بعد ریزه ا از تصویر باینری نازک سازی شده استخراج می شوند. البته تبدیل تصویر سطح خاکستری به تصویر باینری , ممکن است بسیاری از اطلاعات ریزه ها را از بین ببرد و عملیات بسیار حساسی است.همچنین فرایند نازک سازی داخلی از نظر محاسباتی بسیار پیچیده است.

روش استخراج ریزه های بررسی شده در این پروژه بر اساس الگوریتم دنبال کردن خط لبه است.در این الگوریتم جهت لبه ها و مشخصه های ساختاری خطوط لبه مانند عرض و فاصله خطوط لبه به صورت خودکار از تصویر سطح خاکستری اثر انگشت براورد می شوند.

برای بدست اوردن نتایج قابل اطمینان در استخراج ریزه ا تصویر اثر انگشت ورودی تحلیل می شود و پارامتر های خطوط لبه براورد می شوند. سپس الگوریتم دنبال کردن خط لبه برای استخراج ریزه ها بکار می رود.برای حفظ هر اثر انگشت, مرز های تطبیق توافقی برای حذف ریزه های نا معتبر خارج از محدوده مورد نظر تولید و برای تعیین مقدار کمی ریزه ها از مفهوم مجموعه های فازی روی ریه ها استفاده می شود.اگر ریزه های بدست امده معتبر باشند در یک بانک اطلاعاتی ثبت می شوند و در غیر این صورت به مرحله تطبیق می روند.

خصوصیاتی از اثر انگشت که در یک سیستم خودکار ذخیره می شود شامل موقعیت مکانی , جهت و نوع ریزه ها است.بدین ترتیب مساله تطبیق دو اثر انگشت به تطبیق دو گراف یا دو مجموعه از نقاط منتهی می شود.تحقیقاتی که در طی یکصد سال گذشته صورت گرفته یکتا بودن الگوی اثر انگشت بر اساس ریزه را برای جمعیت های زیاد تضمین می کند.بر روی یک تصویر کامل از اثر انگشت بین ۵۰ تا ۱۵۰ ریزه قابل استخراج است و در یک سیستم خودکار استخراج و تطبیق حدود ۱۰ ریزه برای نتیجه گیری در مورد یکسان بودن دو اثر انگشت کافی می باشد.مشکل عمده سیستم های امروزی که بر اساس ریزه کار می کنند کیقیت پاین تصاویر اثر انگشت و در نتیجه عدم وجود الگوریتم های قابل اعتماد در استخراج ریزه است.همواره این احتمال وجود دارد که یک ریزه به اشتباه استخراج شود و یا ریزه ای که وجود دارد استخراج نشود.مساله استخراج اشتباه یک ویژگی در مورد دیگر ویژگی های معرفی شده به جز ریزه ها شدیدتر می باشد.

در بعضی سیستم ها ویژگی های دیگری نیز علاوه بر ریزه ها استخراج می شوند.یکی از رایج ترین این ویژ"ی ها تعداد لبه ایی است که توسط خط واصل بین دو ریزه قطع می شود.از دیگر این ویژگی ها می توان به حفره های موجود بر روی بعضی لبهها اشاره کرد.

حجم محاسبات برای استخراج ویژگی های یک اثر انگشت بسیار بالا می باشد. و این مساله به خصوص در سیستم های On Line مشکل بوجود می اورد.

در بخش هایی از اثر انگشت که از کیفیت مطلئبی برخوردار نیستند تعداد زیادی ویژگی کاذب استخراج می شود که واقعا وجود ندارند.

برای کاهش حجم محاسبات و صرفه جویی در وقت الگوریتم استخراج ویژگی بر روی کلیه قسمت های تصویر اعمال نمی شود.بلکه ابتدا با محاسبات ساده تری سعی می شود تا قسمت هایی که دارای کیفیت بهتری هستند مشخص شوند و سپس تنها در این قسمت ها به اشتخراج ویژگی پرداخته می شود.

 

بدین طریق هم سرعت سیستم را افزایش داده ایم و هم به قابلیت اعتماد مکانیزم استخراج ویژ"ی افزوده ایم.در کنار این دو مزیت این روش دارای یک عیب نیز می باشد و ان اینست که با کنار گذاشتن قسمت هایی از اثر انگشت از درجه یکیتایی ان کاسته می شود

در یک اثر انگشت ویژگی هایی وجود دارد که برای فرایند طبقه بندی بسیار مناسب می باشد.که این ویژگی ها نقاط هسته و دلتا نام دارند.که با نام نقاط تکین نیز شناخته می شوند.

که با استفاده از نقشه جهتی استخراج نقاط هسته و دلتا میسر می شود.

نقشه جهتی(Direction Map) ماتریسی است که هر درایه از ان متناظر با محلی روی تصویر اثر انگشت بوده و مقدار هر درایه جهت غالب لبه ها و شیارها را در موقعیت مورد نظر نشان می دهد

● تطبیق اثر انگشت

تطبیق فرایندی است که طی ان میزان شباهت دو اثر انگشت اندازه گیری می شود.در اکثر سیستم ها از ریزه ها برای تطبیق دادن دو اثر انگشت استفاده می شود

در روشی موسوم به بانک فیلتر ابتدا تصویر اثر انگشت به بخش هایی تقسیم می شود سپس در هر بخش فیلتری موسوم به Gabor Filter را با زائیه های مختلف اعمال کرده و به ازای هر زاویه انحراف معیار برای ناحیه مورد نظر محاسبه می شود.

با توجه به این که Gabor Filter یک فیلتر جهتی است و لبه های اثر انگشت نیز زدر هر ناحیه دارای یک جهت غالب می باشد اعمال فیلتر با زاویه های مختلف باعث می شود که لبه ها تضعیف یا تقویت شوند.اگر زاویه انتخاب شده برای فیلتر برابر یا نزدیک به جهت غالب لبه ها در ناحیه مورد نظر باشد ان ها را تقویت خواهد کرد و در غیر این صورت باعث تضعیف یا کم رنگ تر شدن لبه ها می شود.در هر بار بکارگیری فیلتر انحراف معیار برای ناحیه مورد نظر محاسبه شده و مجموعه انحراف معیار های محاسبه شده بردار ویژگی متناظر با اثر انگشت مورد نظر را تشکیل می دهد.در فاز تطبیق این بردار های ویژگی هستند که با هم مقایسه می شوند.

سیستم های تطبیق مبتنی بر ریزه می توانند به یکی از این دو شیوه عمل کنند :

. ۱تطبیق نقاط

تطبیق ساختار.

در تطبیق نقاط, موقعیت مکانی , نوع ریزه و جهت لبه ای که ریزه بر روی ان قرار گرفته به عنوان خصوصیات اثر انگشت ذخیره شده و سپس در فاز تطبیق ببرسی می شود که چند ریزه به خصوصیات یکسان بر روی هم ردیف می شوند.

برای بررسی این موضوع دو اثر انگشت به گونه ای بر روی هم قرار می گیرند که بیشترین ریزه با خصوصیات یکسان بر روی هم ردیف شوند.سپس این تعداد شمرده شده و با مقدار حد استانه مقایسه می شود و تصمیم لازم نیز اتخاذ می گردد.

در روش تطبیق ساختاری , دیگر به موقعیت مکانی ریزه ها توجهی نمی شود بلکه ساختار اطراف ان و یا به عبارت دیگر نوع ریزه هایی که در همسایگی یک ریزه قرار دارند به عنوان خصوصیات ان مد نظر قرار می گیرد.بدین صورت یک زیر گراف برای یک ریزه تشکیل می گردد و این زیر گراف های ریزه ها هستند که با هم تطبیق داده می شوند.

پنجشنبه 17 مهر ماه 1393